Analisis del Campeonato Paraguayo

Análisis del Campeonato paraguayo conforme a reglamento del 2019:

En esta entrada vamos a analizar el campeonato paraguayo que se desarrolla en dos ruedas de 11 fechas cada una, juegan todos contra todos y el campeón es el aquel que mas puntos acumuló a lo largo de todo el torneo.

Vamos a ver como se desarrolla las combinaciones de resultados posibles.
Para la primera fecha combinamos 6 partidos cuyo resultado son tomados de a 3 posibles, ya que las posibilidades son gana el local, empate o gana visitante.

Para calcular las probabilidades como son mutuamente excluyentes la probabilidad se calcula multiplicando cada una de las posibilidades, gana local, empate o gana visitante, que son tres.

Para la primera fecha hay 6 partidos entonces

P=1/3*1/3*1/3*1/3*1/3*1/3= 1/3^6 son 729 resultados posibles solo para la primera fecha

Para la fecha 22 serian 1/3^(6*22)=1/3^132, son seis partidos en 22 fechas.

P=9.55 10 E62, serian 9.55 seguidos de 62 ceros de combinación de resultados posibles, esta es una cifra astronómica de las combinaciones posibles de resultados.

Con estas combinaciones posibles de resultados es imposible hacer un análisis cuantitativo de forma directa, entonces a través de una aplicación vamos a generar un muestreo de resultados que podamos analizar que a continuación detallamos:

Análisis Estadístico del campeón:
 
Vamos a hacer un análisis estadístico de los puntajes para salir campeón.
La metodología es la siguiente con la ayuda de una aplicación vamos a generar un muestreo grande de resultados de campeonatos, generando al azar los resultados de las combinaciones de las tres posibles por partido, si las fuerzas fueren mas o menos parejas esto bastaría pero como hay clubes con mas jerarquía los resultados se polarizan para 4 o 5 clubes, pero en este capitulo nos ocuparemos como si todos tuvieran la misma capacidad de campeonar.

Del análisis estadístico para n=10.000.000, es decir generamos resultados como si se celebrasen 10.000.000 de campeonatos y vemos como se comportan los resultados para el campeón, o con cuantos puntos se llega a campeonar, y estos son los resultados:

Puntos	Moda	Porcentaje %	Suma %
30	23	0,0002%	0,0002%
31	725	0,01%	0,0075%
32	10.740	0,11%	0,1149%
33	65.051	0,65%	0,7654%
34	224.037	2,24%	3,0058%
35	517.547	5,18%	8,1812%
36	873.010	8,73%	16,9113%
37	1.177.626	11,78%	28,6876%
38	1.327.919	13,28%	41,9668%
39	1.312.151	13,12%	55,0883%
40	1.177.447	11,77%	66,8628%
41	969.873	9,70%	76,5615%
42	748.395	7,48%	84,0454%
43	548.125	5,48%	89,5267%
44	382.606	3,83%	93,3528%
45	253.848	2,54%	95,8912%
46	164.485	1,64%	97,5361%
47	103.650	1,04%	98,5726%
48	62.719	0,63%	99,1998%
49	36.793	0,37%	99,5677%
50	20.230	0,20%	99,7700%
51	11.291	0,11%	99,8829%
52	5.887	0,06%	99,9418%
53	3.034	0,03%	99,9721%
54	1.540	0,02%	99,9875%
55	659	0,01%	99,9941%
56	333	0,00%	99,9974%
57	156	0,00%	99,9990%
58	57	0,00%	99,9996%
59	21	0,00%	99,9998%
60	14	0,00%	99,9999%
61	2	0,00%	99,9999%
62	2	0,00%	100,0000%
63	1	0,00%	100,0000%
64	1	0,00%	100,0000%
65	1	0,00%	100,0000%
66	1	0,00%	100,0000%

Desde 46 puntos en adelante el rango de resultados supera el 95%, el rango de campeonar es mucha mas factible desde 46 puntos en adelante.
De este análisis también concluimos que el menor puntaje para salir campeón es de 30 puntos y si llegas a acumular 49 puntos es prácticamente imposible que no salgas campeón, porque se dieron otros resultados que hacen que el segundo ya no te pueda dar alcance.

El Promedio del campeón u=39,45 puntos.
La Desviación Típica es de s=3,08 puntos.

Por lo que a fuerzas parejas 39 a 40 puntos debiera ser el pontaje ideal del campeón, pero es un poco mas alto porque hay clubes cuyos jugadores marcan la diferencia, pero en condiciones normales el rango de puntaje del campeón debiera ser entre 42,53 y 36,37 puntos.

Todos los cálculos estadísticos se efectuaron a través de una planilla Ms. Excel, la generación de resultados se efectuó con una macro VBA para Ms. Excel

Veamos como se comporto desde el 2008 hasta el apertura del 2018, donde tenemos el puntaje del campeón y la frecuencia de ocurrencia.

Puntos	Moda
41	1
44	4
45	1
46	4
47	2
48	1
49	5
50	2
52	1
53	1
57	1

Con esos datos tenemos la siguiente distribucion con los datos desde el 2008 hasta el 2019:

 Puntos       Moda               Porcentaje%  Suma %

30		0,0000%	0,0000%
31		0,0001%	0,0001%
32		0,0004%	0,0005%
33		0,0014%	0,0019%
34		0,0045%	0,0064%
35		0,0138%	0,0202%
36		0,0385%	0,0588%
37		0,0987%	0,1575%
38		0,2325%	0,3900%
39		0,5029%	0,8929%
40		0,9997%	1,8926%
41	1	1,8257%	3,7182%
42	4	3,0633%	6,7815%
43	1	4,7223%	11,5038%
44	4	6,6885%	18,1923%
45	2	8,7038%	26,8961%
46	1	10,4063%	37,3024%
47	5	11,4312%	48,7335%
48	2	11,5369%	60,2705%
49	1	10,6978%	70,9683%
50	1	9,1139%	80,0822%
51	1	7,1338%	87,2160%
52		5,1303%	92,3464%
53		3,3898%	95,7362%
54		2,0578%	97,7941%
55		1,1478%	98,9418%
56		0,5882%	99,5300%
57		0,2769%	99,8069%
58		0,1198%	99,9267%
59		0,0476%	99,9743%
60		0,0174%	99,9917%
61		0,0058%	99,9975%
62		0,0018%	99,9993%
63		0,0005%	99,9998%
64		0,0001%	100,0000%
65		0,0000%	100,0000%
66		0,0000%	100,0000%
		100,0000%

Donde:

El Promedio del campeón u=47,61 puntos.
La Desviación Típica es de s=3,44 puntos.

El rango esperado de valores esta entre 51,05 y  44,17

Conclusión:
El gráfico resultante es similar al grafico teorizado a través de los resultados , y como ya habíamos mencionado el grafico real esta corrido hacia los puntajes mas altos porque hay equipos que marcan la diferencia a través de la jerarquía de sus jugadores y el poder económico de los mismos.

Juego de Bingos de 25 Bolillas

En esta entrada hablaremos sobre el juego de azar de los bingos de 25 Bolilleros.

Antes que nada la intención de esta entrada es meramente informativa y no emite ningún juicio de valor por ninguna empresa dedicada al rubro de los bingos.

Juegas usualmente algún bingo donde se extraen 25 bolillas y se premian 12 aciertos?
Porque se premian cuando alguien no hace ningún aciertos o pocos aciertos?
Cual es la probabilidad de que me toque a mi?
Cuanto debería costar un cartón?

Estas y otras preguntas trataremos de responden en esta entrada.

Si juegas usualmente haces en promedio como mínimo 5 a 7 aciertos por cartón cada vez que juegas, esto tiene su implicancias de las probabilidades de este tipo de bingo, que pasaremos a desarrollar mas adelante.

En esta entrada voy a hacer un análisis de los bingos que usan 25 bolilleros y premian por aciertos de 12 o mas aciertos, nos ocuparemos del premio mayor, ya que cada empresa ofrece gran variedad de premios consuelo por cada cartón.

Antes necesitamos saber cuantos cartones pueden participar de un juego así, es decir cuantos cartones únicos podrían imprimirse usando esta combinación de números de 12 números de 25 probables, y usando entonces la formula de las combinaciones podemos saber ese valor.


La respuesta es usando 25 números diferentes , y agrupándolos de a 12, podemos obtener la respuesta usando la formula de combinaciones, la formula es simple NCR(25,12) Combinación de n=25 tomados de a r=12


Esta es la formula de combinación entre dos números.









Donde el simbolo "!" es la operación llamada factorial, qe consiste en la multiplicación de números sucesivos

Entonces a modo de ejemplo:
4!=4*3*2*1

Si aplicamos la fórmula tenemos:

C(25,12)=25!/(12!*(25-12)! nos da
C(25,12)=25!/(12!*13!)

Esto equivale a escribir esta formula:

C=(25*24*23*22*21*20*19*18*17*16*15*14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)/((12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)*(13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)
C=5.200.300 cartones.

 Si ponemos esto de forma mas cómoda tenemos:

En una planilla electrónica escribimos en una celda =FACT(25)/((FACT(12)*FACT(25-12))  nos da el mismo valor 5.200.300 diferentes combinaciones de cartones, es decir podemos imprimir hasta 5.200.300 cartones diferentes.

Si las empresas vendiesen 5.200.300 cartones cada semana habría un ganador de cada cartón, pero no hacen eso, y la probabilidad de que el jugador compre el cartón ganador es de 5.200.300 a una


Para el lado de la empresa que vende los cartones analizaremos las probabilidades:

Cual es la probabilidad de que se imprima y se venda el cartón ganador?

Si se venden 200.000 cartones

P= 200.000 / 5.200.000 serian 0.038 o 1/26

Serian 26 a una, es decir en un año debiera haber por lo menos dos ganadores, ya que el año tiene 52 semanas.


Por el lado de la persona que compra el cartón:


Cual es la probabilidad de que tengas el boleto ganador?
Bueno al comienzo hay 25 bolillas y digamos que tu tienes 12 números, tu probabilidad de acertar un numero es 25/12 , luego sigue el juego y se extrae otra bolilla pero solo hay 24 bolillas, ya que una ya se saco previamente y tu tienes 11 números por acertar , entonces seria 11/24, para la tercera bolilla serian 10/23 y asi sucesivamente hasta 1/14, pero como son eventos mutuamente excluyentes, ya que si no aciertas alguno de los números en tu cartón no tienes el boleto premiado con 12 aciertos, entonces la probabilidad real de tener los 12 números que salen del bolillero en tu cartón es:

1/((12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)/(25*24*23*22*21*20*19*18*17*16*15*14))=5.200.300

Poniendo de una forma cómoda de leer:

Que es la primera conclusión a la que ya habíamos llegado, el jugador tiene 5.200.300 a una de comprar el cartón ganador.

Esto quiere decir que tienes de una a 5.200.300 posibilidades de que tengas el cartón ganador , si se imprimiese todos los cartones, pero como no se imprimen todos, o no se venden todos esa posibilidad es aun menor.


Ahora bien utilizando una aplicación y utilizando la distribución de palomar vamos a generar los 5.200.300 cartones y vamos a hacer una distribución de aciertos para n sorteos y vamos a ver como se distribuyen la moda de los aciertos de los cartones con n aciertos, es decir vamos a generar varios sorteos y vemos como se agrupan los aciertos en los cartones, y analizar los datos.


Veamos como se distribuyen los aciertos en la siguiente grafica:
En las abscisa esta el número de aciertos esperado por cartón y en la ordenada la probabilidad de ocurrencia de los aciertos:

El grafico toma la forma de una distribución normal o campana de Gaus, que tiene la siguiente formulación:

Vemos que habrán muchos cartones que obtengan de 5 a 7 aciertos, la probabilidad de no acertar ningún cartón es aproximadamente igual a acertar 12, esto ilusiona al comprador del cartón porque siempre tiene una media de 6 a 7 aciertos por juego.

Haciendo un análisis estadístico de los datos para n sorteos tenemos:

Promedio: 5.76 aciertos.
Desviación típica:1,27
Con estos valores la mayoría de los cartones tendrá el rango de aciertos de 4.49 a 7.03

La ecuación de la probabilidad de aciertos tiene la formula:
P(x)=1/(1,27*RAIZ(2*PI()))*EXP(-1/2*((X-5,76)/1,27)^2)



Conclusión:
Las probabilidades de hacer 12 aciertos es baja, y mas todavía ya que las empresas no imprimen la totalidad de los cartones.

Supongamos que se imprimen 200.000 cartones:

Es decir hay 1 en 26 de que algún cartón saque el premio mayor y 1 en 135.215.600 de que alguien tenga el boleto ganador del premio mayor, y si se vendieran todos los cartones seria 1 a 5.200.300.

Con esta mecánica al año deberían haber en promedio 2 ganadores al año, considerando que el año tiene 52 semanas, pero esos ganadores son 1 en 135.215.600 veces suertudos para obtener tal premio.

Cuanto debería costar?.
Debe ser el premio multiplicado por mi esperanza matemática
Si el premio es de mil millones y se venden 200.000 cartones, que es como estamos desarrollando los análisis.

Precio cartón=1.000.000.000/135.215.600= 7,40 Gs. y se vende por 10.000 Gs.

Puntaje mínimo para clasificar zona sudamericana eliminatorias Rusia 2018 fecha 13

Posiciones 

Consideraciones de como se hizo el análisis.

1) Se realiza un muestreo de 10,000,000 resultados generados al azar para los resultados que
aun faltan jugarse, los ya jugados permanecen invariantes y son datos del programa hasta la fecha 12.

2) Cuando el numero de muestras tiende a infinito las probabilidades se pueden calcular por azar.

3) Las suma de las cantidades a que llegan del primero al quinto puesto son tomados en forma porcentual

4) Están marcados en verde la probabilidad mas alta para el primero al quinto puesto.

5) Están marcado en rojo cuando el porcentaje de acumulados supera el 95% que es una cifra estadisticamente significativa, es decir para que una distribución del 95% se dieron otros resultados que hacen que sea improbable que otro equipo lo supere una vez alcanzado dicho puntaje.

Despues de un análisis estadístico, generando los resultados al azar para n=10.000.000 y tomando la moda de cada puntaje, se tienen los siguientes resultados de la campana de Gauss.

Esta es la moda:

Posicion 1
Puntos	Cantidad	Probabilidad	%Acum.
30	6353	0,0635%	0,0635%
31	91888	0,9189%	0,9824%
32	308339	3,0834%	4,0658%
33	639112	6,3911%	10,4569%
34	1052112	10,5211%	20,9780%
35	1357969	13,5797%	34,5577%
36	1319879	13,1988%	47,7565%
37	1453272	14,5327%	62,2892%
38	1261047	12,6105%	74,8997%
39	822719	8,2272%	83,1269%
40	823262	8,2326%	91,3595%
41	411480	4,1148%	95,4743%
42	205636	2,0564%	97,5307%
43	205621	2,0562%	99,5869%
45	41311	0,4131%	100,000%

Pos 2
Puntos	Cantidad	Probabilidad	% acumulada
25	13	0,000130%	0,0001%
26	2327	0,023270%	0,0234%
27	40724	0,407240%	0,4306%
28	299029	2,990290%	3,4209%
29	839505	8,395050%	11,8160%
30	1709677	17,096770%	28,9128%
31	2212575	22,125750%	51,0385%
32	1888999	18,889990%	69,9285%
33	1636178	16,361780%	86,2903%
34	761672	7,616720%	93,9070%
35	405156	4,051560%	97,9586%
36	161190	1,611900%	99,5705%
37	27417	0,274170%	99,8446%
38	15538	0,155380%	100,00%

Pos 3
Puntos	Cantidad	Probabilidad	% acumulada
24	47	0,0005%	0,0005%
25	5618	0,0562%	0,0567%
26	101848	1,0185%	1,0751%
27	607996	6,0800%	7,1551%
28	1839523	18,3952%	25,5503%
29	2487959	24,8796%	50,4299%
30	2532861	25,3286%	75,7585%
31	1523459	15,2346%	90,9931%
32	629034	6,2903%	97,2835%
33	226276	2,2628%	99,5462%
34	38468	0,3847%	99,9309%
35	6364	0,0636%	99,9945%
36	547	0,0055%	100,0000%

Pos 4
Puntos	Cantidad	Probabilidad	% acumulada
23	191	0,002%	0,0019%
24	10115	0,101%	0,1031%
25	175302	1,753%	1,8561%
26	943919	9,439%	11,2953%
27	2330548	23,305%	34,6008%
28	3124377	31,244%	65,8445%
29	2040858	20,409%	86,2531%
30	1040630	10,406%	96,6594%
31	272879	2,729%	99,3882%
32	53438	0,534%	99,9226%
33	7319	0,073%	99,9958%
34	415	0,004%	99,9999%
35	9	0,000%	100,0000%

Pos 5
Puntos	Cantidad	Probabilidad	% acumulada
22	924	0,0092%	0,0092%
23	28518	0,2852%	0,2944%
24	282189	2,8219%	3,1163%
25	1365369	13,6537%	16,7700%
26	2744198	27,4420%	44,2120%
27	3029208	30,2921%	74,5041%
28	1836962	18,3696%	92,8737%
29	559482	5,5948%	98,4685%
30	137341	1,3734%	99,8419%
31	14524	0,1452%	99,9872%
32	1211	0,0121%	99,9993%
33	74	0,0007%	100,0000%

Conclusiones

1 Para ser primero como minino debe hacerse 30 puntos

   El primero como máximo llegara a 45 puntos

   Para asegurarse ser primero deben hacerse 41 puntos

2 Para ser segundo como mínimo debe hacerse 25 puntos

  El segundo como máximo llegara a 38 puntos

  Para asegurarse ser segundo deben hacerse 35 puntos

3 Para ser tercero como mínimo debe hacerse 24 puntos

  El tercero como máximo llegara a 36 puntos

  Para asegurarse ser tercero deben hacerse 32 puntos

4 Para ser cuarto como mínimo debe hacerse 23 puntos

  El cuarto como máximo llegara a 35 puntos

  Para asegurarse ser cuarto deben hacerse 30 puntos

5 Para ser quinto como mínimo debe hacerse 22 puntos

  El  quinto como máximo llegara a 33 puntos

  Para asegurarse ser quinto deben hacerse 29 puntos