Antes que nada la intención de esta entrada es meramente informativa y no emite ningún juicio de valor por ninguna empresa dedicada al rubro de los bingos.
Juegas usualmente algún bingo donde se extraen 25 bolillas y se premian 12 aciertos?
Porque se premian cuando alguien no hace ningún aciertos o pocos aciertos?
Cual es la probabilidad de que me toque a mi?
Cuanto debería costar un cartón?
Estas y otras preguntas trataremos de responden en esta entrada.
Si juegas usualmente haces en promedio como mínimo 5 a 7 aciertos por cartón cada vez que juegas, esto tiene su implicancias de las probabilidades de este tipo de bingo, que pasaremos a desarrollar mas adelante.
En esta entrada voy a hacer un análisis de los bingos que usan 25 bolilleros y premian por aciertos de 12 o mas aciertos, nos ocuparemos del premio mayor, ya que cada empresa ofrece gran variedad de premios consuelo por cada cartón.
Antes necesitamos saber cuantos cartones pueden participar de un juego así, es decir cuantos cartones únicos podrían imprimirse usando esta combinación de números de 12 números de 25 probables, y usando entonces la formula de las combinaciones podemos saber ese valor.
La respuesta es usando 25 números diferentes , y agrupándolos de a 12, podemos obtener la respuesta usando la formula de combinaciones, la formula es simple NCR(25,12) Combinación de n=25 tomados de a r=12
Esta es la formula de combinación entre dos números.
Donde el simbolo "!" es la operación llamada factorial, qe consiste en la multiplicación de números sucesivos
Entonces a modo de ejemplo:
4!=4*3*2*1
Si aplicamos la fórmula tenemos:
C(25,12)=25!/(12!*(25-12)! nos da
C(25,12)=25!/(12!*13!)
Esto equivale a escribir esta formula:
C=(25*24*23*22*21*20*19*18*17*16*15*14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)/((12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)*(13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)
C=5.200.300 cartones.
Si ponemos esto de forma mas cómoda tenemos:
En una planilla electrónica escribimos en una celda =FACT(25)/((FACT(12)*FACT(25-12)) nos da el mismo valor 5.200.300 diferentes combinaciones de cartones, es decir podemos imprimir hasta 5.200.300 cartones diferentes.
Si las empresas vendiesen 5.200.300 cartones cada semana habría un ganador de cada cartón, pero no hacen eso, y la probabilidad de que el jugador compre el cartón ganador es de 5.200.300 a una
Para el lado de la empresa que vende los cartones analizaremos las probabilidades:
Cual es la probabilidad de que se imprima y se venda el cartón ganador?
Si se venden 200.000 cartones
P= 200.000 / 5.200.000 serian 0.038 o 1/26
Serian 26 a una, es decir en un año debiera haber por lo menos dos ganadores, ya que el año tiene 52 semanas.
Por el lado de la persona que compra el cartón:
Cual es la probabilidad de que tengas el boleto ganador?
Bueno al comienzo hay 25 bolillas y digamos que tu tienes 12 números, tu probabilidad de acertar un numero es 25/12 , luego sigue el juego y se extrae otra bolilla pero solo hay 24 bolillas, ya que una ya se saco previamente y tu tienes 11 números por acertar , entonces seria 11/24, para la tercera bolilla serian 10/23 y asi sucesivamente hasta 1/14, pero como son eventos mutuamente excluyentes, ya que si no aciertas alguno de los números en tu cartón no tienes el boleto premiado con 12 aciertos, entonces la probabilidad real de tener los 12 números que salen del bolillero en tu cartón es:
1/((12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1)/(25*24*23*22*21*20*19*18*17*16*15*14))=5.200.300
Poniendo de una forma cómoda de leer:
Que es la primera conclusión a la que ya habíamos llegado, el jugador tiene 5.200.300 a una de comprar el cartón ganador.
Esto quiere decir que tienes de una a 5.200.300 posibilidades de que tengas el cartón ganador , si se imprimiese todos los cartones, pero como no se imprimen todos, o no se venden todos esa posibilidad es aun menor.
Ahora bien utilizando una aplicación y utilizando la distribución de palomar vamos a generar los 5.200.300 cartones y vamos a hacer una distribución de aciertos para n sorteos y vamos a ver como se distribuyen la moda de los aciertos de los cartones con n aciertos, es decir vamos a generar varios sorteos y vemos como se agrupan los aciertos en los cartones, y analizar los datos.
Veamos como se distribuyen los aciertos en la siguiente grafica:
En las abscisa esta el número de aciertos esperado por cartón y en la ordenada la probabilidad de ocurrencia de los aciertos:
El grafico toma la forma de una distribución normal o campana de Gaus, que tiene la siguiente formulación:
Vemos que habrán muchos cartones que obtengan de 5 a 7 aciertos, la probabilidad de no acertar ningún cartón es aproximadamente igual a acertar 12, esto ilusiona al comprador del cartón porque siempre tiene una media de 6 a 7 aciertos por juego.
Haciendo un análisis estadístico de los datos para n sorteos tenemos:
Promedio: 5.76 aciertos.
Desviación típica:1,27
Con estos valores la mayoría de los cartones tendrá el rango de aciertos de 4.49 a 7.03
La ecuación de la probabilidad de aciertos tiene la formula:
P(x)=1/(1,27*RAIZ(2*PI()))*EXP(-1/2*((X-5,76)/1,27)^2)
Conclusión:
Las probabilidades de hacer 12 aciertos es baja, y mas todavía ya que las empresas no imprimen la totalidad de los cartones.
Supongamos que se imprimen 200.000 cartones:
Es decir hay 1 en 26 de que algún cartón saque el premio mayor y 1 en 135.215.600 de que alguien tenga el boleto ganador del premio mayor, y si se vendieran todos los cartones seria 1 a 5.200.300.
Con esta mecánica al año deberían haber en promedio 2 ganadores al año, considerando que el año tiene 52 semanas, pero esos ganadores son 1 en 135.215.600 veces suertudos para obtener tal premio.
Cuanto debería costar?.
Debe ser el premio multiplicado por mi esperanza matemática
Si el premio es de mil millones y se venden 200.000 cartones, que es como estamos desarrollando los análisis.
Precio cartón=1.000.000.000/135.215.600= 7,40 Gs. y se vende por 10.000 Gs.
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